Simulación de fallas geológicas usando fractales no lineales. Ejemplo, falla de la Mina Coal del Norte, Coahuila México

Resumen
En este trabajo de investigación se desarrollan diversas simulaciones de la falla normal situada en la mina Coal del Norte, Coahuila, México, empleando los conjuntos de Julia de la familia de funciones Pc (z)= z² + c donde z y c son números complejos.

Se obtienen resultados significativos al iterar las siguientes funciones com- plejas f₁(z)=z²– 0.19 + 1.12i, f₂(z)=z²-0.135+1.15i, f₃(z)=z²-0.185- 1.10i y f₄(z)=z²-0.18-1.08i. Las funciones f₃(z) y f₄(z) son las que mejor simulan el sistema de falla de la mina Coal del Norte.

Palabras clave: Iteración, conjunto de Julia, Mandelbrot, sistema de falla, geología, minería fractal, simulación.

Abstract
In this research, various simulations of the normal fault located in the Coal del Norte mine, Coahuila, Mexico, are developed using the Julia sets from the family of functions Pc (z)= z² + c, where z and c are complex numbers. Significant results are obtained by iterating the following complex functions: f₁(z)=z²– 0.19 + 1.12i, f₂(z)=z²-0.135+1.15i, f₃(z)=z²-0.185- 1.10i y f₄(z)=z²-0,18-1.08i. The functions f₃(z) and f₄(z) are found to best simulate the fault system of the Coal del Norte mine.

Key words: Iteration, Julia set, Mandelbrot, failure system, geology, fractal mining, simulation.

Introducción
Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circula- res, ni la corteza es suave y el rayo no viaja en línea recta (Mandelbrot, 1997). La geometría fractal describe objetos que guardan una semejanza estadística o exacta con el todo, prolongándose la similitud con las partes

de sus partes, así hasta el infinito (Spinadel, 2003). El termino fractal fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, del verbo frangere que significa romper en pedazos (Mandelbrot, 1997). Un fractal mantiene el mismo aspecto a cualquier escala de obser- vación, tiene longitud infinita, tiene dimensión no entera. Se conocen tres tipos de fractales: los fractales lineales, no lineales y naturales.

La mayoría de las cosas en la naturaleza tienen una forma fractal. Algu- nos ejemplos de ello son: los perfiles costeros, la hoja de un helecho, los paisajes, la superficie rugosa de una roca, el ramaje de un arbusto, etc., (Talanker, 2011).

En la actualidad, la geometría fractal es muy usada en la física, medicina, computación, química, biología, economía, etc., ya que ha permitido re- formular y resolver problemas complejos de una forma muy simplificada (Alfaro et al., 2010).

La geometría fractal ha sido usada en diferentes estudios para estudiar y simular diferentes sistemas naturales, por ejemplo: En (Gumiel y Her- nández, 1996) resaltan la importancia de la geometría fractal y crean simulaciones de patrones fractales naturales. También Gumiel y Hernández (1996) crean simulaciones de patrones de fracturación en roca, su distribución y características de su geometría fractal. Conectividad y percolación. Retama y Casanova (2006) usan la geometría fractal para el estudio de la mecánica de fractura fractal. Por otro lado, Cattaneo et al., (2009) aplican la dimensión fractal para el estudio de sistemas naturales. En (Camacho y Vásquez, 2015) estudian la geometría fractal, teoría del caos, y sus aplicaciones en la industria minera. También, en (Moncayo et al., 2015) crean una aproximación geoidal del planeta tierra usando geometría fractal no lineal. En (Fitz, 2016) hacen un estudio de caracterización de sistemas de fractura usando geometría fractal, aplicada a yacimientos geotérmicos.

De forma análoga, Zhou et al., (2017) usan la geometría fractal para crear simulaciones de redes de fractura. En (Wang et al., 2018) construyen un modelo fractal basado en el rendimiento de redes de fractura complejas. De forma similar, Hernandez et al., (2021) calculan la dimensión fractal de redes de drenaje superficial de la Sierra de Obayos y Santa Rosa, Coahui- la, México; esto para determinar relaciones características que ayuden a comprender el comportamiento de las redes de drenaje a través de la di- mensión fractal. También, Hernández et al., (2023) calculan la dimensión fractal de macizos carbonatados fracturados naturalmente; ejemplo de la formación aurora, noreste de México, con el fin de encontrar relaciones en- tre la dimensión fractal y patrones de fractura en los sistemas fracturados.

De acuerdo con lo mencionado anteriormente, este trabajo de investiga- ción tiene como objetivo, simular el sistemas de falla normal ubicado en la mina Coal del Norte, Coahuila, México a través de conjuntos de Julia. El uso de la geometría fractal se justifica por el hecho que las fallas o grietas son patrones irregulares en un ambiente natural.

Ubicación de la zona de estudio y breve descripción geológica
La Figura 1 corresponde a la mina Coal del Norte, ubicada a 1.2 km al noroeste de la localidad de Agujita, en el municipio de Sabinas, Coahuila.

El yacimiento de carbón Coal del Norte está constituido por cinco mantos de carbón con yacencia subhorizontal, encajonados en las lutitas y are- niscas de la Formación Olmos de edad Maastrichtiano. Esta formación ha sido dividida en cinco miembros que de la base al techo incluyen lutita carbonosa y arenisca de grano fino con concreciones ferruginosas y limo- lita (SGM, 2003).

Los mantos de carbón subbituminosos poseen espesores que varían entre 0.3 y 3 m, hacia la parte superior predominan los mantos de pequeños espesores: su formación se relaciona con ambientes lagunares en condi- ciones de agua dulce.

En el sector oriental del yacimiento se observa una falla normal (Figura 2), la cual puede tener un impacto significativo en los mantos de carbón. Estas fallas pueden causar deformaciones tanto en los estratos de areniscas y lutitas como en los propios mantos de carbón, tal como se observa en la Figura 2, alterando la distribución y accesibilidad del carbón. Además, pueden incrementar el riesgo de colapso y afectar la estabilidad de la mina, complicando las operaciones de extracción y aumentando los costos de producción. Es muy importante realizar estudios geológicos combinados con la simulación fractal para evaluar estos riesgos y planificar adecuada- mente la explotación del carbón.

Elementos matemáticos de variable compleja
Para crear simulaciones de sistemas naturales usando conjuntos de Ju- lia, es necesario definir un sistema dinámico en C (Plano complejo). Para esto se considera una función f: C → C (una función que va del plano complejo en el plano complejo). Aquí cabe mencionar que se distinguen diferentes categorías según las propiedades de la función ; por ejemplo, si es continua, diferenciable, u holomorfa. La composición f ° f: C→ C, que se obtiene aplicando nuevamente la función f al resultado f(z), es también una función. Así sucesivamente, cualquier composición f ° f ° … ° f es también una función del plano complejo en el plano complejo y denotaremos por f ⁿ a la composición de f, n veces; a esto se le conoce como iteración de funciones de variable compleja.

Conjunto de Julia
Muchas de las definiciones y teoremas que se presentan pueden consul- tarse en un contexto más general en (Beardon, 1991).

El conjunto de Julia es un conjunto de puntos generado al iterar la función del tipo f: C → C , donde C representa al plano complejo o conjunto de números complejos. Lo cierto o correcto sería los conjuntos de Fatou y Julia, ya que eran los dos matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia, quienes aproximadamente por el año 1920 introdujeron el concepto de método iterativo en el estudio de sistemas dinámicos para la implemen- tación de la geometría fractal.

Sea w un número complejo tal que f(w)=w, en este caso se dice que w es un punto fijo de f. Sea ahora w tal que f ^p(w)=w, para algún p ≥1,en este caso se dice que w es un punto periódico de f ; si además p es el menor número natural con esta característica, se dice que w es un punto p- periódico.

Los puntos periódicos se pueden clasificar, según λ=(f ^p) ́ (x):

• Si λ > 1, se dice que es un punto repelente.
• Si λ = 1, se dice que es un punto indiferente.
• Si 0 < λ < 1, se dice que es un punto atractor.
• Si λ=0, se dice que es un punto superatractor. 

El conjunto de Julia se define como:

J(f)=cl {z ∈ C  z es un punto periódico repelente}

La definición de clausura se puede consultar en (Munkres, 2014). Algunos

ejemplos de conjuntos de Julia se pueden apreciar en la Figura 3.

Conjunto de Mandelbrot

Para definir el conjunto de Mandelbrot, se debe precisar en una clase es- pecial de polinomios de variable compleja, a decir, p_c(z)=z ^p + c donde z, c, son números complejos y p una potencia real. Estos polinomios se les conoce como polinomios de Julia y se representan como sigue:

(J_c= J(p_c(z)). Entonces podemos definir el conjunto de Mandelbrot como:

M= {c ∈C: J_c es conexo}
M= {c ∈C: p_c⁽ⁿ⁾(0) → ∞}

Algunos ejemplos de conjuntos de Mandelbrot para algunas funciones f(w) se pueden apreciar en la Figura 4.

Metodología
A continuación, se describe el proceso sistemático para determinar los pa- rámetros ideales que componen el modelo matemático (función de variable compleja), que simula un sistema de falla de un sistema geológico minero.

Para llevar a cabo lo mencionado en el párrafo anterior, se elige trabajar con una familia de funciones uniparamétrica de p_c(z): caso cuando p=2, es decir, p_c(z)=z²+c.

La metodología para llevar a cabo las simulaciones se define en cuatro pasos: 

Paso 1: Crear el conjunto de Mandelbrot de la función p_c(z)=z²+c, mejor conocido como plano de parámetros. Esto se hace mediante un programa iterativo desarrollado en Wolfram Mathematica versión 12.0.

Paso 2: Se eligen algunos valores de c dentro, en la frontera y fuera del conjunto de Mandelbrot de la familia de funciones p_c(z)=z²+c.

Paso 3: Una vez elegidos los valores de c, se usa el proceso de iteración de funciones para crear los conjuntos de Julia que simularán la falla de la mina Coal del Norte; esto se hace mediante un programa iterativo desarrollado en Wolfram Mathematica versión 12.0.

Paso 4: Creación de simulaciones con mayor parecido a la falla de la mina Coal del Norte.

Resultados
Paso1: En la Figura 5 se aprecia el conjunto de Mandelbrot.

Paso 2: Los valores elegidos son: c₁=-0.3+0.5i, c₂= -0.2843 + 0.6266i, c₃= -0.1213 + 0.8197i, c₄= -0.1274 + 0.9806i, c₅= -0.19 +1.12i, c₆= -0.135 +1.15i, c₇= -0.185 -1.10i y c₈= -0.18 -1.08i, estos se pueden observar en la Figura 5 rodeados por círculos de diferentes colores. 

Cabe aclarar que c₁,c₂ y c₃ están dentro del plano de parámetros (en el cardiode más grande), los otros valores de c están fuera de dicho cardiode del conjunto de Mandelbrot, Figura 5.

Paso 3: En la Figura 6 se dan algunas simulaciones de fallas iterando la familia de funciones p_c(z)=z²+c, para algunos valores complejos de c.

Paso 4: Simulaciones con mayor parecido a fallas se pueden apreciar en la Figura 7.

Discusiones
En los resultados anteriores se obtienen los conjuntos de Julia que simulan la falla de la mina Coal del Norte. En la Figura 6 y 7 se puede apreciar una geometría totalmente irregular, característica de la geometría fractal no lineal. Por otro lado, hay que mencionar que no siempre se tienen resul- tados favorables, observe la Figura 6 A), B) y C), en A) y B) los conjuntos de Julia son conexos, mientras que en C) se obtiene un conjunto de Julia totalmente disconexo, en los tres casos, no se tiene parecido a un sistema agrietado o falla. Posteriormente, en el inciso D) se puede apreciar un ma- yor parecido a una falla; obsérvese en la Figura 5, que este valor de c se encuentra fuera del plano de parámetros.

De acuerdo con el resultado de la Figura 6 D), se decide iterar con valores de c fuera del plano de parámetros. En efecto, los resultados obtenidos se muestran en la Figura 7 A), B), C) y D), en ellos, se aprecia mayor pare- cido a sistemas de falla geológicos. Los conjuntos de Julia de la Figura 7 simulan muy bien a los sistemas de fallas, particularmente si hablamos de la falla de la mina Coal del Norte, los incisos C) y D) pueden dar una muy buena aproximación de ésta.

Es muy importante conocer modelos matemáticos que modelen sistemas de fracturas o fallas, ya que permiten entender mejor el comportamiento de dichas fallas desde el punto de vista geométrico, y a evaluar los ries- gos y planificar adecuadamente la explotación de carbón y de diferentes minerales.

Al trabajar con sistemas dinámicos caóticos, como es nuestro caso, se debe tener en cuenta, que pequeñas modificaciones conllevan a resulta- dos sorprendentemente diferentes; por esta razón se debe tener cuidado al escoger los valores de los parámetros c. Cabe mencionar, que los valores de c estén fuera del conjunto de Mandelbrot y sean los que mejor simulan los sistemas de falla, es porque dichos conjuntos de Julia tienden a ser más irregulares, (Barnsley, 1993).

Conclusiones
La geometría fractal ayuda muy bien a crear simulaciones de objetos na- turales que tienen un alto grado de irregularidad o fragmentación, cosa que la geometría clásica no logra. Los conjuntos de Julia de la familia de fun- ciones p_c(z) = z² + c simulan muy bien la falla de la mina Coal del Norte, Figura 7 C) y D). Cabe mencionar, que existen muchos valores de c por explorar en diferentes partes fuera del plano de parámetros; se podría afir- mar que existe una cantidad infinita de valores por explorar.

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¹Universidad Autónoma de Coahuila, Escuela Superior de Ingeniería. alberto_hernandez@uadec.edu.mx. Boulevard Adolfo López Mateos s/n. Nueva Rosita, Coahuila, C P. 26800, México.