Por: Ricardo Marín H*., Federico Vogel G., V. Manuel Quezada, Martin Caudillo G, Juan José Martínez Reyes

Resumen 
La mina de Naica, se localiza en el estado de Chihuahua, México. En 1910 se descubrió en el nivel 120 la “Cueva de las Espadas”, que se ha preservado en buen estado hasta la fecha y que es reconocida internacionalmente por sus famosos cristales de Selenita. Más notable aún que el propio descubrimiento del yacimiento de Naica y su Cueva de las Espadas, es el descubrimiento de una zona de cavernas localizadas en el nivel 290, debido a que están repletas de espectaculares ejemplares de mineral de selenita, con dimensiones que alcanzan los 14 metros de longitud  y anchos cercanos a 1 metro. Algunas teorías se han desarrollado para tratar de explicar tan espectaculares dimensiones, sin embargo todas coinciden en lo favorable del ambiente geológico emplazado en rocas calizas del Cretácico, que presentan varios sistemas de fracturas y fallas que sirven de conducto para el desplazamiento del agua de un importante acuífero.

Palabras Clave: Distrito Naica, selenita, megacristales, ambiente geológico.

Antecedentes
El Distrito Minero Naica se localiza en el centro del estado de Chihuahua, al Norte de México (Figura 1). Durante muchas décadas,  la Mina de Naica ostentó  el primer lugar nacional en la producción de plomo y con cantidades importantes de zinc y plata.

Los primeros indicios de operaciones mineras en la región, datan de hace más de dos siglos. Stone (1959) asienta que la primera concesión minera del Distrito se otorgó en el año de 1794. Lambert (1892) describe que los yacimientos fueron descubiertos por gambusinos que los trabajaron a muy pequeña escala entre 1828 y 1830. La Compañía Minera de Naica inició la explotación formal de yacimiento a fines del siglo XIX suspendiendo operaciones hacia 1911. Posteriormente, la Compañía Minera Peñoles S.A. reinició las actividades de extracción en 1924 continuando hasta 1928. A partir de este año, The Naica Mines of Mexico explotó los yacimientos hasta 1951, cuando traspasó las propiedades a The Fresnillo Company S.A. Durante años recientes, la mina operó bajo la razón social de Minera Maple S.A de C.V. , subsidiaria del Grupo Peñoles.

Geología
En el Distrito se han realizado numerosos estudios geológicos. Entre los autores más importantes podemos mencionar a Basset (1955), Bravo (1968), Duarte (1972), Franco (1978), Stone (1959) y Wilson (1956), éste último, jefe de geólogos de la compañía entre 1953 y 1968.

Fisiografía
El yacimiento de Naica se localiza dentro de la provincia fisiográfica de Sierras y Llanuras de Norte (clasificación de INEGI). Sobresalen sobre el paisaje grupos de pequeñas sierras aisladas con orientación NW-SE. Una de estas sierras es la conocida como Sierra de Naica que se integra por la Sierra de la Mina, Sierra de Enmedio y por la Sierra del Monarca. Estas estructuras tienen una elevación media de 1,700 m.s.n.m.  

La mina de Naica se ubica en el flanco NE de la sierra del mismo nombre, en el área que corresponde a la Sierra de la Mina, misma que ha sido moldeada por plegamientos secundarios, fallamiento y erosión.

Estratigrafía
La Sierra de Naica (Figura 2) está constituída principalmente por rocas sedimentarias del Albiano, en su mayor parte calizas, a excepción de dos fajas angostas de margas y lutitas calcáreas que afloran hacia el poniente.                              

Estas rocas sedimentarias descansan sobre una secuencia evaporítica denominada formación Cuchillo, del Aptiano, que no aflora en el área pero que ha sido ampliamente descrita en los alrededores. Las únicas rocas ígneas reconocidas en el distrito se presentan en forma de diques y sills de composición félsica (Franco, 1978). 

Rocas Sedimentarias
Formación Aurora. Constituida por las rocas más antiguas identificadas en el área, está representada por una amplia secuencia de calizas del Albiano que presentan recristalización. Wilson (1956) la divide localmente en tres franjas: Inferior, Media y Superior, estas no tienen sus límites bien definidos y no constituyen unidades mapeables. Las franjas Inferior y Media están constituidas por calizas marmorizadas de color gris obscuro a blanco, de grano fino a medio y los rasgos de la estratificación han desaparecido por completo. Es en estas dos franjas donde se hospedan la mayor parte de los cuerpos mineralizados. La franja Superior está integrada en su mayor parte por calizas de color gris claro a oscuro, de grano muy fino, con abundantes bandas delgadas y nódulos de pedernal. El espesor de esta formación se supone superior a 800 metros.

Formación Benevides. Es concordante a la formación Aurora y está constituida por lutitas calcáreas de color gris oscuro que intemperizan a color amarillo ocre; su espesor varía de 30 metros en la Sierra de la Mina a 60 metros en la Sierra del Monarca. Su edad es del Albiano Medio Superior.

Formación Loma de Plata. Aflora en toda la Sierra de Naica y tiene un espesor aproximado de 450 metros. Se pueden diferenciar dos miembros: uno inferior de 30 a 40 metros de espesor, constituido por una micrita de estratificación media (0.6 a 0.8 metros) de color gris claro, con escasos microfósiles. El miembro superior está constituido por  caliza de estratificación gruesa a masiva. Tanto su contacto superior como el inferior son claros y concordantes. Su edad es del Albiano Superior.

Formación Del Río. Formada principalmente por lutitas y limonitas arcillosas de color gris, con estratificación delgada. Aflora únicamente en las Sierras de Enmedio y Monarca, ya que ha sido erosionada en la Sierra de la Mina. Sus contactos son concordantes, su espesor es de 20 a 30 metros y su edad estimada corresponde al Albiano Superior-Cenomaniano.

Formación Buda. Se constituye por calizas color gris crema dispuestas en estratos gruesos y masivos, su espesor se desconoce debido a la erosión que presenta en su cima. Esta formación pertenece al Cenomaniamo Inferior.

Cubriendo a las formaciones anteriores y en discordancia angular con las mismas, se emplazan gruesas capas de material detrítico no consolidado, que en algunas zonas alcanza los 15 metros de espesor. Estos depósitos tienen una edad reciente, aunque su periodo de formación, según Duarte (1964), pudo haber iniciado en el terciario.

Rocas Ígneas
Las únicas rocas ígneas identificadas en el Distrito están representadas por sills y diques lenticulares de textura afanítica y composición félsica. En las zonas no alteradas presentan un color gris claro, fracturamiento concoidal y marcado bandeamiento de flujo paralelo a las paredes de la roca encajonante. 

Existen divergencias en cuanto a la clasificación de estas estructuras, Basset (1955) sugiere que pudiese tratarse de un depósito de minerales de alta temperatura. Black en Wilson (1956) reporta que estos diques y sills están formados casi en su totalidad por albita. La edad isotópica (K/Ar) obtenida para estas rocas es de 26 millones de años (Clark et al, 1979).

Rocas Metamórficas
Se encuentran dos tipos de rocas metamórficas en el Distrito: La primera es un skarn de silicatos cálcicos y el otro es un mármol originado por el pirometamorfismo de la caliza Aurora. Existen variaciones en la coloración del mármol, de gris a blanco, ocasionados principalmente por diferencias de composición original y textura, además de las condiciones variables de metamorfismo. En la vecindad inmediata a los cuerpos de mineral el mármol ha sido lixiviado, ya que el entrelazamiento marcado de los granos de calcita  ha sido destruido y los bordes han sido corroídos, además de que la calcita de estas áreas es intensamente fluorescente bajo la lámpara de luz ultravioleta, al contrario de la calcita que está alejada de los cuerpos.

La marmorización de la caliza es muy común en las zonas mineralizadas o bien en los contactos con las mismas y aunque se ha sugerido que existieron horizontes preferenciales para el depósito  de la mineralización (Ruiz y Barton et al., 1985 referenciado en Villasuso, 2002), esto no se ha confirmado en el depósito de Naica.

Geología Estructural
La Sierra de Naica está formada por tres sierras menores que constituyen un extenso domo alargado con dirección NW-SE de 12 km de longitud con ancho máximo de 7 km. En el área de la mina se puede notar un intenso fracturamiento anterior, contemporáneo y posterior a la mineralización. El fracturamiento previo corresponde a un sistema de fallas y fracturas con rumbo NW-SE, paralelas al eje mayor del domo mencionado, con inclinaciones que varían desde unos cuantos grados hasta casi verticales y buzamientos predominantes al SW. Es en este sistema donde se emplazan la mayoría de los cuerpos mineralizados.

El segundo sistema está representado por fracturas y fallas mineralizadas con dirección NE-SW, algunas de ellas con desplazamientos de decenas de metros. Este sistema fue económicamente muy importante en los niveles superiores de la mina, desde la zona de oxidación cercana a superficie, hasta los niveles 240 y 290 (metros bajo el brocal del tiro, localizado a 1385 m.s.n.m). Dos fracturas de este sistema con echados contrarios originaron la Chimenea Torino-Tehuacán, cuerpo mineralizado muy rico en sulfuros masivos con diámetro promedio de 70 metros y uno de los más importantes del yacimiento.

Un tercer sistema, posterior a los descritos y también a la mineralización, está integrado por fracturas y fallas con rumbo NW-SE con desplazamiento del orden de decenas de metros. Este sistema es importante porque sus fracturas y fallas sirven como conductos principales del acuífero dentro del cual está el yacimiento. A través de estas fracturas y fallas corre agua con temperatura que alcanza lo 55 °C y a profundidad se han cortado volúmenes importantes con presiones hasta de 4 MPa. Entre las fallas más notables de este sistema se encuentran la Falla Gibraltar y la Falla Naica que buzan hacia el SW y tienen desplazamientos verticales cercanos a los 50 metros y 200 metros respectivamente y la Falla Montaña que buza hacia el NE, que merece especial atención ya que en esta se aloja la “Cueva de las Espadas”, famosa por sus bellos ejemplares de Selenita.

Recientemente (1999), hacia el alto de la falla Naica se descubrieron nuevas cavernas con megacristales de selenita que superan con mucho en calidad y belleza a los encontrados en la Cueva de las Espadas.

Yacimientos Minerales
El yacimiento de Naica es un depósito de reemplazamiento de Ag-Pb-Zn, de alta temperatura emplazado en rocas carbonatadas (Megaw, Ruiz, Titley, et al., 1988 en Villasuso, 2002). Los cuerpos mineralizados se han clasificado en: mantos y chimeneas en base al contenido de minerales calco-silicatados de +5% para el primer caso y –5% para el segundo (Stone, 1959, en Villasuso, 2002), más que la tradicional definición referida a su estrecha relación estratigráfica. A su vez, los mantos se han subdividido en endoskarn y exoskarn indicando la presencia o ausencia de los diques de felsita (Palacios et al., 1991 en Villasuso, 2002). Las chimeneas se han clasificado de acuerdo a su contenido mineralógico en: sulfuros masivos y de sulfuros-silicatos. (Figura 3).

Mantos
El término manto se aplicó localmente a cuerpos tabulares sensiblemente horizontales y casi paralelos a la estratificación; están compuestos principalmente con silicatos que contienen sulfuros diseminados.  A medida que las operaciones profundizaron, el echado de este tipo de cuerpos fue cada vez mayor, hasta alcanzar en algunos casos la vertical, sin embargo por costumbre, se siguió aplicando el mismo término para definirlos. 

Se conocen aproximadamente 20 mantos en el área de la mina, muchos de ellos interconectados entre sí. Sus dimensiones son muy variables y van desde unos cuantos centímetros hasta cerca de los 40 metros de potencia, con longitudes que pueden extenderse a más de 500 metros. Se ubican prácticamente en todos los niveles de la mina, desde muy cerca de superficie hasta cerca de los 900 metros (ubicados con barrenación de diamante). Los más importantes son los mantos Gibraltar y Quinto Manto.

Chimeneas
Son cuerpos mineralizados integrados principalmente por sulfuros masivos, con cantidades variables de silicatos. Sus inclinaciones generalmente son mayores a los 45º y sus secciones vistas en planta son cercanas a la elíptica, aunque irregulares. 

En Naica se conocen cerca de 60 chimeneas pero las más importantes, sin lugar a dudas, han sido la Chimenea Torino-Tehuacán y la Chimenea 5087, esta última al parecer representa la continuidad de la primera a profundidad.

Las diferencias principales entre los mantos y las chimeneas, además de la forma, son su constitución mineralógica y sus leyes. Mientras que los mantos están compuestos principalmente por silicatos y los sulfuros se encuentran en los contactos o diseminados, las chimeneas están compuestas principalmente por sulfuros masivos. 

Origen del Yacimiento
Todas las evidencias indican que los yacimientos minerales de Naica son de origen hidrotermal. El sistema geotérmico fue originado por la presencia de un cuerpo intrusivo que se localiza a más de 2,000 metros de profundidad, como lo sugiere un estudio magnetométrico (informe interno-Unidad Naica). La interacción de este cuerpo intrusivo con las aguas connatas de la secuencia sedimentaria generó un sistema hidrotermal con salmueras con alta capacidad para transporte de metales. Los cuerpos minerales se formaron a partir de soluciones ricas en sílice, alúmina, manganeso, hierro, plomo, zinc, plata, flúor, y azufre, las cuales ascendieron siguiendo zonas de debilidad como los contactos de los diques félsicos emplazados casi simultáneamente en la caliza encajonante, reemplazando a ambos y tomando parte de sus elementos constituyentes (Ca-Mg) para formar nuevos minerales. Los datos de inclusiones fluidas (Erwood et al, 1979) y las observaciones de texturas y mineralógicas indican que las soluciones hidrotermales variaron en composición a medida que evolucionó el sistema. La variación más notable es que la fugacidad del cloro fue disminuyendo a medida que la fugacidad del azufre aumentaba, produciendo así la precipitación de sulfuros, en ocasiones a expensas de los silicatos previamente formados.

Por su posición estructural y relaciones geométricas, se deduce que los mantos o cuerpos ricos en silicatos preceden en su formación a las chimeneas y por lo tanto fueron formados en el máximo energético del fenómeno geotérmico.

Según los datos isotópicos, el proceso hidrotermal tuvo lugar en el Oligoceno Tardío, probablemente coincidiendo con los últimos episodios del magmatismo de la Sierra madre Occidental, de la cual Naica no está muy distante.

Mineralogía
Como la mayoría de los yacimientos tipo skarn, el de Naica presenta una mineralogía muy variada. En la zona de oxidación se encuentran óxidos de hierro y manganeso; también óxidos de plomo como cerusita, anglesita y wulfenita; smithsonita y hemimorfita  son óxidos de Zinc y la presencia de cuprita, malaquita, azurita y crisocola indican la oxidación de la calcopirita primaria. 

En casi toda la zona de oxidación se encontraron cristales de selenita, algunos con inclusiones de cobre nativo.

La mineralización de los skarn en los mantos es rica en silicatos: cuarzo, wollanstonita, granates de la serie grosularita-andradita, hedembergita  y vesuvianita. Además se puede encontrar calcita, fluorita, molibdenita, pirita, pirrotita y marcasita. Todos estos constituyen los minerales de ganga.

Entre los principales minerales de mena que se encuentran en los mantos están: galena, esfalerita, calcopirita y scheelita (en un tiempo Naica  exportó concentrados de tungsteno). La plata se encuentra incluida en la galena, en forma de cristales microscópicos de sulfosales ricas en bismuto.

En las chimeneas se encuentran grandes concentraciones de sulfuros como galena y esfalerita como principales minerales de mena. Entre la ganga se encuentran también pirita, calcopirita, fluorita, calcita, cuarzo, selenita y anhidrita.

Ambiente geológico y minerales de Naica
Definitivamente, la mina de Naica fue durante más de 50 años líder en la producción de plomo en nuestro país, siendo además una importante productora de zinc. Esto se debe a que además de un gran yacimiento, formado bajo condiciones geológicas muy favorables, el personal que la ha administrado siempre se preocupó  por implementar las técnicas de operación y equipo más modernos, constituyéndose en su momento,  en “punta de lanza” y ejemplo a seguir en lo que se relaciona a seguridad, productividad, ventilación, bombeo, técnicas de desarrollo de mina y explotación.

El yacimiento de Naica y su mina, son también conocidos nacional e internacionalmente por su famosa “Cueva de Las Espadas”, que se descubrió en 1910 al estar realizando obras para preparar la explotación de un bloque de mineral. Tal cueva se ubica en el nivel 120 sobre la estructura geológica conocida como Falla Montaña; tiene sus paredes, piso y techo cubiertos por magníficos cristales de selenita, algunos de los cuales alcanzan longitudes mayores a 2 metros.

Preservada por casi ya más de un  siglo a partir de su descubrimiento, sigue siendo un importante atractivo para geólogos y mineros de todo el mundo (Fotografías 1 y 2). 

Sin embargo, el más importante atractivo de Naica, mineralógicamente hablando, no es su citada Cueva de las Espadas. El 22 de Julio de 1999 mientras se desarrollaba una obra para explorar hacia el alto de la falla Naica en el nivel 290, se descubrió por casualidad una nueva caverna, metros más adelante se interceptó una segunda cueva (la más espectacular de todas) el 3 de Diciembre del mismo año. Dos cavernas más se comunicaron en la misma área durante  el año 2000. Estas “nuevas” cuevas están repletas de fabulosos megacristales de selenita. En la segunda y más importante, algunos  ejemplares tienen dimensiones espectaculares ya que alcanzan más de 14 metros de longitud y tienen anchos que sobrepasan a 1 metro. Para algunos expertos estos cristales están entre los más grandes jamás encontrados a nivel mundial (Fotografías 3, 4, 5 y 6). La temperatura en el interior de las cavernas alcanza un promedio superior a los 47 °C y el aire está saturado de humedad (Badino et al, 2002). 

La belleza, transparencia y dimensiones de los ejemplares que se encuentran en la serie de cuevas descubiertas en el nivel 290, superan por mucho a las de los cristales de la Cueva de las Espadas.

Si bien, los cristales de Selenita son lo más notable de Naica,  la riqueza y concentración de elementos en las soluciones mineralizantes, el notablemente favorable ambiente geológico conformado por rocas calizas cretácicas, la existencia de un importante acuífero y los sistemas de fallas descritos con anterioridad, dieron lugar a la formación  de excelentes ejemplares de muchos otros minerales: cuarzo, fluorita, anhidrita, galena, esfalerita, granates, que en muchas ocasiones se han encontrado formando piezas de excepcional belleza.

Tanta influencia tiene el acuífero (con agua a temperatura superior a 55 °C y nivel freático original aproximadamente en el nivel 120) en la formación de cristales y tan saturadas de carbonatos de calcio y sulfatos están sus aguas, que aún hoy en día, cuando se aísla un lugar en donde se ha interceptado agua, al transcurso de pocas semanas se forman nuevos cristales de selenita.

Discusión
Hasta hoy la teoría más aceptada acerca de la formación de los fabulosos cristales de selenita de Naica sustenta que estos se formaron cuando soluciones ricas en minerales solubles, circularon a través de fallas y fracturas disolviendo las calizas y generando huecos, la circulación combinada de agua del acuífero con diferente temperatura agrandó tales huecos creando un ambiente propicio para la pérdida de presión y temperatura de las soluciones hidrotermales y originando la precipitación de minerales y crecimiento de cristales (Ross, 2002. Foshag, 2004).

Badino et al (2002) propone que los macro-cristales se formaron bajo el agua, en un punto donde el agua termal profunda, caliente (55°C) y saturada de sulfuros se encontraba en contacto con agua de mucho menor temperatura proveniente de escurrimientos superficiales.

A lo largo del área de contacto entre estos dos tipos de agua que no podían mezclarse directamente dada la diferencia de densidad (mayor) de aquellas profundas y mineralizadas, se llevaba acabo la “difusión” del oxígeno en el estrato inferior con consiguiente oxidación de los iones sulfuro a sulfato que provocaban una leve sobresaturación respecto al yeso y por lo tanto una lentísima deposición. Evidentemente, estas condiciones de deposición se mantuvieron por un tiempo muy largo (millones de años) y los cristales lograron desarrollarse hasta obtener estas dimensiones inusuales. Al final, en tiempos muy recientes la cavidad fue probablemente vaciada accidentalmente de manera natural debido al descenso del nivel freático local ocasionado por el bombeo para permitir el desarrollo de las labores mineras. 

Sea cual fuese la teoría más acertada sobre la génesis de los cristales de Naica, lo cierto es que las personas que han tenido la oportunidad de conocerlos y sobre todo, de visitar las cavernas, aún y cuando no sean expertos o conocedores, saben que están ante una de las grandes maravillas naturales, no sólo de México, sino del mundo.

Referencias bibliográficas:

• Badino, Petrignani y Piccini., 2002. El proyecto Naica,”La Cueva de los Cristales”, Naica, Chihuahua, México. La Venta Exploring Team. www.laventa.it. 
• Basset, A.M. 1955. Geology and mineralization of the naica Mining Distric, Chihuahua, México. Tesis Doctoral Univ. de Columbia, New York.
• Basset, A.M. 1956. Genesis and paragenesis of silicates and sulfides,naica mine,Chihuahua,México. XX Congreso Geológico Internacional, México.
• Bravo, M.N., 1968. Geología de los depósitos de minerales en el Distrito Minero de Naica, Chihuahua, Tesis Profesional. ESIA, Instituto Politécnico Nacional.
• Clark, Damon, Schutter,Shafiquilleh, 1979. Magmatismo en el norte de México, en relación a los yacimientos metalíferos. A.I.M.M.G.M., A.C. Memoria XIII.
• Duarte E.A. 1972, Geología de yacimientos minerales en el Distrito de Naica, Estado de Chihuahua, American Institute of Mining Metallurgical and Petroleum Engineers.
• Erwood, Kesler, Cloke., 1979. Compositionally Distrinc, saline hidrothernal solutions, Naica mine, Chihuahua Mexico. Economic Geology, V. 74.
• Foshag, William F., 1927. The selenite caves of Naica, Mexico. American Mineralogist, Vol. 12, pp. 252 – 256. Mineralogical Society of America 2004.
• Franco Rubio,M., 1978. Estratigrafía del Albiano Cenomaniano en la región de Naica, Chihuahua y su relación con los yacimientos de plomo y zinc. Tesis de M.C., Facultad de Ciencias, UNAM.
• Ross, John F., 2002. Crystal Moonbeams. Smithsonian Magazine, October 2002.
• Stone, J.G., 1959. Ore genesis in the Naica district, Chihuahua, Mexico. Economic Geology, V.54.
• Wilson, I.F., 1956. El Distrito Minero de Naica, Chihuahua, México. XX Congreso Geológico Internacional.
• Villasuso M.R., 2002. Descripción del yacimiento de Naica. Compañía Fresnillo, S.A. de C.V. Unidad Naica. Reporte inédito.

* Universidad de Guanajuato,r_marin@ugto.mx 

Por: ¹Karla Rosalyne Lira Méndez, ¹Alberto Hernández Rosales, y ¹Roberto Díaz Martínez.

Resumen
En este trabajo de investigación, se hace una simulación de un fractal natural, correspondiente a una muestra de gabro perteneciente al cerro El Chalio, ubicado al norte del estado de Coahuila de Zaragoza, México. Para la simulación se usan sistemas de funciones iteradas; el proceso es realizado con ayuda del software IFS Construction Kit, un software de iteración aleatoria. El resultado obtenido se presenta en la Figura 5. Este resultado es una primera aproximación, se pueden obtener más alterando las transformaciones contractivas dadas en la Tabla 2. 

Palabras clave: fractales, simulación, geología, sistemas iterados, transformaciones contractivas.

Abstract
In this research work, we are presenting the result of the simulation of a natural fractal, corresponding to a sample of gabro belonging to the Chalio hill, located in the north of the state of Coahuila de Zaragoza, Mexico.  For the simulation, we used iterated function systems; the iterative process was carried out with the help of IFS Construction Kit software. The result obtained is presented in Figure 5. This result is a first approximation, more can be obtained by altering the contractive transformations of Table 2.

Key words: fractals, simulation, geology, iterated systems, contractive transformations.

Introducción
Mandelbrot (1967) llama “fractal” a objetos geométricos cuya estructura es irregular. Según Mandelbrot, la palabra fractal proviene del latín fractus, que significa “quebrado o fracturado”, del verbo frangere, “romper”. En la actualidad, se tiene la siguiente clasificación: fractales lineales, no lineales y fractales autoafines o naturales.

La geometría fractal es reciente en la matemática, su desarrollo se ha acelerado debido a su diversidad de aplicaciones en diferentes campos de la ciencia y la tecnología, gracias al desarrollo informático (González et al., 2019). Algunos ejemplos de formas naturales son: los perfiles costeros, la hoja de un helecho, las fronteras de los paisajes, la superficie rugosa de una roca, el ramaje de un arbusto, la ramificación alveolar en los pulmones, la frontera de una nube y las fluctuaciones de precios en un mercado (Talanquer, 2011). En la actualidad, la geometría fractal es muy aplicada en la física, medicina, computación, química, biología, economía, fisiología, arte, etc. ya que ha permitido reformular y resolver problemas complejos de una forma muy simplificada (Alfaro et al., 2010).

En todos los objetos naturales o fractales afines a los que se ha hecho referencia en el párrafo anterior, se ha usado el concepto de escala o escalado. Según Gumiel (1996) una de las percepciones físicas clave en la definición conceptual de un fractal, es que todo proceso u objeto muestra características semejantes a diferentes escalas, por consiguiente, es invariante al cambio de escala. Estas propiedades siguen distribuciones hiperbólicas, donde la propiedad (P) está relacionada con el tamaño (t) mediante la ecuación P= Ct ^-D,D es la dimensión fractal del sistema, la cual se obtiene de la siguiente manera (Gumiel, 1996):

por lo tanto,

La ecuación anterior cuantifica el grado de irregularidad y fragmentación de un conjunto geométrico, o un sistema geológico, u objetos naturales.

En la naturaleza son más frecuentes los fractales autoafines, aquellos en los que el objeto es parecido a diferentes escalas, pero no como un calco (fractales naturales o autoafines) (Barnsley, 1988).

Gumiel (1996) menciona que en geología el concepto de fractal se empezó a usar principalmente en los campos de Geomorfología y Sismología, cuando en la zona de la Falla de San Andrés en California, E.U., se descubrió que los sismos de magnitud 6 o menor tenían una distribución fractal en el espacio y en el tiempo. Al comprobar que los temblores se presentaban en grupos autosemejantes y no en intervalos regulares.

Existen varias aplicaciones de fractales en la geología, algunas de estas son las siguientes: Turcotte (1986) comprobó que las relaciones tonelaje – ley de algunos yacimientos de Hg, Cu y U de Estados Unidos presentaban también distribuciones fractales. Análisis cartográfico de la dimensión fractal para la variación espacio-temporal de ríos (González et al., 2019). Uso del modelo fractal para caracterizar la distribución de tamaño de partícula en suelos (Filgueira et al., 2002). En el caso de Hernández et al. (2021) estudian las relaciones de las características geológicas y la dimensión fractal de las Sierras de Obayos y Santa Rosa, del estado de Coahuila, México. Estimación de la distribución geométrica de fallas en macizos rocosos (Moná et al., 2019). Y finalmente, Hernández et al. (2023) estudian las relaciones de las características geológicas y la dimensión fractal de afloramientos rocosos ubicados en Melchor Múzquiz, Coahuila, México.

Por otro lado, existen trabajos relacionados con el uso de sistemas de funciones iteradas para la generación de fractales autoafines. Algunos son los siguientes: en (Barnsley y Demko, 1985) usan la teoría de sistemas de funciones iteradas para generar diversos fractales autoafines y fractales matemáticos. En (Hodges y Naylor, 1985) también se usan sistemas de funciones iteradas para crear objetos fractales como gráficos de interpolación fractal, hojas de Arce, hojas de Arce Alicatada, y hojas de helecho.

En este sentido, se puede apreciar que es posible aplicar la geometría fractal a través de sistemas de funciones iteradas para crear distintos objetos fractales vinculados con formaciones geológicas. Por esta razón, en la presente investigación se realiza una simulación de una muestra de gabro perteneciente al cerro El Chalio, ubicado al norte del estado de Coahuila, México; usando Sistemas de Funciones Iteradas. Esto se justifica porque a simple vista en la muestra de gabro se puede observar distribuciones que se repiten a diferentes escalas, característica fundamental de los fractales afines.

Descripción geológica y ubicación de la muestra de gabro
La imagen que se presenta en la Figura 1 corresponde a una muestra de gabro natural, dicha estructura atiende características fractales naturales. Para atender el objetivo de esta investigación, la imagen de la Figura 1 será simulada usando sistemas de funciones iteradas con la ayuda del software IFS Construction Kit.

La muestra objeto de estudio se recolectó en un afloramiento de rocas ígneas perteneciente al cerro El Chalio, ubicado al norte del estado de Coahuila. Sus coordenadas UTM son las siguientes: X=707429; Y=3190445 (Figura 2).

 Esta roca se describió petrográficamente con ayuda de un microscopio de luz polarizada marca Leica, definiéndose como un gabro de grano grueso, de color oscuro muy fresco en la que se observa plagioclasa (Pl) euhedral con las características ópticas de la labradorita, abundante titanoaugita (Ti-Aug) y olivino (Ol); este último, atendiendo a su muy alto relieve, color y pleocroísmo parece ser fayalita o un olivino muy rico en hierro. Es común observar al olivino incluido dentro de grandes cristales de titanoaugita (Figura 3).  

Sistemas De Funciones Iteradas
Definición 1.
Sea ( X,d) un espacio métrico. Se denota con F (X), la familia de todos los subconjuntos compactos no vacíos de X, es decir:

Definición 2. 
Sea ( X,d) un espacio métrico, sean 
Se define la distancia de x al conjunto A como

y la distancia de (Figura 4), para más información sobre las definiciones anteriores consultar (Iribarren, 2008).

Proposición 1. Sea (X,d) un espacio métrico, y sea 
la función que se define como:  

, entonces h es una métrica sobre (X) .

Para más información sobre la Proposición 1, consultar (Iribarren, 2008).

Teorema 1. Sea (X,d)  un espacio métrico completo, entonces el espacio métrico (  (X),h ) es completo.

La demostración del Teorema 1 se puede consultar en (Iribarren, 2008).

El espacio métrico antes mencionado también es conocido como métrica de Hausdorff.

Definición 3. Sean (X₁,d₁)  y (X₂,d₂) dos espacios métricos. Una función   f: (X₁,d₁) → (X₂,d₂)  es una función de Lipschitz, si existe un número real positivo α tal que

 ,

al número α se le llama un factor de Lipschitz de la función f . Si se cumple que 0 ≤ α < 1, entonces f es llamada una contracción y α un factor de contracción para f (Figura 5).

Teorema 2. (Teorema del punto fijo). Si (X, d) es un espacio métrico completo y f: X → X una contracción, con α un factor de contracción de f, entonces existe un único x_f X tal que f(x_f)= x_f, a x_f se le llama el punto fijo de la contracción. Para más información revisar (Mahanta, 2018).

Sistemas de funciones iteradas
Proposición 2.  Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea para i{ 1, . . . , n },  f_i: (X,d) → (X, d) contracciones con α_i un factor de contracción para f_i. Sea F:(  (X), h) →( (X),h) la función definida por 

entonces F es una contracción y α=máx { α_i | i {1, . . . , n}} es un factor de contracción para F. Para más información sobre la Proposición 2, véase (Mahanta, 2018).

Definición 4. Un sistema de funciones iteradas o SFI, consiste de un espacio métrico completo y una familia finita de contracciones { f_i: (X,d) → (X, d)|i {1, . . . , n}}, al SFI se le denota por {(X, d); f₁, f₂, f₃, …, f_k }, y se llama un factor de contracción del SFI al número α= máx{α_i| i{1, . . . , k}}, donde el númeroαi es un factor de contracción para f_i, i{1, . . . , k}.

Más información sobre la Definición 4, se puede encontrar en (Mahanta, 2018).

De acuerdo con la Proposición 2, dado un sistema de funciones iteradas {(X, d); f₁, f₂, f₃, …, f_k}, se puede definir una contracción F en el espacio métrico completo ( (X), h), y por el Teorema 2 existe un único A_F(X), tal que este es el punto fijo de la contracción, el conjunto A_F es llamado el conjunto fractal asociado al SFI y a F la contracción inducida por el SFI, véase (Juárez y Correa, 2012).

En la Tabla 1 se tiene un ejemplo de un sistema de funciones iteradas para generar el fractal lineal conocido como triángulo de Sierpinsky.

Usando el software IFS Construction Kit y las transformaciones afines de la Tabla 1 que conforman el sistema de funciones iteradas, se obtiene el fractal de la Figura 6. Éste fue calculado con 281,100 puntos de resolución.

Para generar la simulación de la muestra de gabro perteneciente al cerro El Chalio, ubicado al norte del estado de Coahuila, México, se usa el software IFS Construction Kit, el cual hace uso de un algoritmo aleatorio, y usa sistemas de funciones iteradas, véase (Barnsley, 1988) y con la ayuda de las transformaciones contractivas de la Tabla 2.

Resultados y discusión
El resultado de la iteración del sistema de funciones iteradas mediante el software IFS Construction Kit, se puede apreciar en la Figura 7. Esta imagen se obtiene de acuerdo con el sistema de funciones iteradas dado en la Tabla 2.

La simulación tiene 1,000,000 de puntos de resolución.

Se debe mencionar que la imagen presentada en la Figura 7 no es única, porque si se alteran las transformaciones afines dadas en la Tabla 2 resultaría una imagen totalmente diferente. Por lo que se debe tener cuidado al elegir las transformaciones contractivas. Lo que conocemos como teoría del caos en matemáticas, se hace presente en este proceso al cambiar los datos de las transformaciones afines.

La geometría fractal hoy en día es la única herramienta capaz de crear simulaciones de objetos naturales, con un nivel de precisión muy alto, véase (Gumiel y Hernández, 1996), (Álvarez, 2021) y (Juárez y Correa, 2012). Y si se desea estudiar la forma de los objetos o sistemas geológicos naturales, se tiene que recurrir forzosamente a la geometría fractal para poder tener acceso a su forma física.

Conclusiones
La geometría fractal presenta una nueva geometría de la naturaleza y ofrece una nueva herramienta poderosa para abordar estudios geométricos de sistemas naturales complejos. La geometría fractal nos ofrece la posibilidad de comprender las leyes que gobiernan dichos sistemas y en un futuro obtener mediante el desarrollo de los ordenadores, modelos matemáticos que ayuden a predecir el comportamiento de sistemas dinámicos naturales. 

Referencias

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1.Universidad Autónoma de Coahuila, Escuela Superior de Ingeniería “Lic. Adolfo López Mateos”. Boulevard Adolfo López Mateos s/n. Nueva Rosita, Coahuila, México. C P. 26800. karla.lira@uadec.edu.mx.